Выделение уравнений продольного движения из полной системы уравнений продольного движения самолета. Маневренные характеристики Уравнения пространственного маневра самолета

УДК 629.7333.015
Математическая модель пространственного движения маневренного самолета, учитывающая нестационарные эффекты отрывного обтекания на больших
углах атаки.
М. А. Захаров.
На основе уточненной модели аэродинамических коэффициентов продольного движения, учитывающей нестационарные эффекты отрывного обтекания при больших углах атаки, построена математическая модельпространственного движения маневренного самолета с приведением ее системы нелинейных дифференциальных уравнений к каноническому виду. Подготовлены исходные данные для введения в программу решения указанной системы на цифровой вычислительной машине. Исходные данные по аэродинамическим коэффициентам взяты из известных (охватывающих диапазоны 0...900 для углов и -400...400 для углов ) и приблизительно спрогнозированыдля углов -7200...7200 по периодическому закону. Построенная модель проиллюстрирована решениями при различных положениях органов управления самолетом.

1 Постановка задачи.
В связи с прогрессом в области вычислительной техники появилась возможность быстрее и точнее находить решение системы нелинейных дифференциальных уравнений пространственного движения самолетов. При этом математический аппарат,полно описывающий это движение, пока еще недостаточно развит. Известны работы, посвященные рассмотрению математических моделей пространственного движения маневренных самолетов (например ). При этом по отдельности предлагаются математическая модель аэродинамических коэффициентов и модель движения (в виде системы дифференциальных уравнений). Однако построение общей (совместной) модели дляпрактического использования вызывает затруднение из-за наличия в составе модели аэродинамических коэффициентов нестационарных составляющих (в частности составляющих, соответствующих структуре отрывного обтекания на крыле). При подстановке аэродинамических коэффициентов в общую систему уравнений последняя на цифровой вычислительной машине не может быть решена. В правой части получающейся системы есть члены,содержащие производные углов атаки и скольжения (,). Другая сложность заключается в том, что в печати практически отсутствует информация об аэродинамических коэффициентах для диапазона изменения углов и . В данной работе делается попытка преодоления этих трудностей.
Ранее, на основе уточненной модели аэродинамических коэффициентов , учитывающей нестационарные эффекты отрывногообтекания при больших углах атаки, была построена математическая модель продольного движения маневренного самолета. Логическим завершением усилий по внедрению уточненной модели аэродинамических коэффициентов должно стать построение модели пространственного движения маневренного самолета, включающей указанную модель коэффициентов.
Необходимо также проиллюстрировать построенную модель решениямипри изменении положения органов управления.

2 Допущения, исходные уравнения и построение математической модели.
Считаем, что жесткий маневренный самолет движется относительно плоской невращающейся Земли при отсутствии ветра. Оси тяги правого и левого двигателей параллельны оси Х связанной системы координат. При этом пространственное движение такого самолета можно выразить следующейсистемой уравнений динамики и кинематики:
; (1)
; (2)
; (3)
; (4)
; (5)
; (6)
; (7)
; (8)
; (9)
где:
; (10)
; (11)
; (12)
– линейная скорость центра масс (ЦМ) самолета; , , – его угловые скорости поворота относительно осей X, Y, Z, связанных ссамолетом , – площадь крыла; – размах крыла; – средняя аэродинамическая хорда крыла; , , – осевые моменты инерции, относительно осей OX, OY, OZ; – угол атаки; – угол скольжения; – угол крена; – угол тангажа; – угол рыскания; – кинетический момент...

Маневренностью самолета называется его способность изменять вектор скорости полета по величине и направлению.

Маневренные свойства реализуются летчиком при боевом маневрировании, которое состоит из отдельных законченных или незаконченных фигур пилотажа, непрерывно следующих друг за другом.

Маневренность является одним из важнейших качеств боевого самолета любого рода авиации. Она позволяет успешно вести воздушный бой, преодолевать ПВО противника, атаковать наземные цели, строить, перестраивать и распускать боевой порядок (строй) самолетов, выводить на объект в заданное время и т. д.

Особое и, можно сказать, решающее значение имеет маневренность для фронтового истребителя, ведущего воздушный бой с истербителем (истребителем-бомбардировщиком) противника. Действительно, заняв выгодное тактическое положение по отношению к противнику, можно его сбить одной-двумя ракетами или огнем даже из единственной пушки. Наоборот, если выгодное положение займет противник (например, «повиснет на хвосте»), то в такой ситуации не поможет любое количество ракет и пушек. Высокая маневренность позволяет также производить успешный выход из воздушного боя и отрыв от противника.

ПОКАЗАТЕЛИ МАНЕВРЕННОСТИ

В самом общем случае маневренность самолета можно полностью охарактеризовать секундным векторным приращением скорости. Пусть в начальный момент времени величина и направление скорости самолета изображается вектором V1 (рис. 1), а через одну секунду - вектором V2; тогда V2=V1+ΔV, где ΔV - секундное векторное приращение скорости.

Рис. 1. Секундное векторное приращение скорости

На рис. 2 изображена область возможных секундных векторных приращений скорости для некоторого самолета при его маневре в горизонтальной плоскости. Физический смысл графика состоит в том, что через одну секунду конца векторов ΔV и V2 могут оказаться только внутри области, ограниченной линией а-б-в-г-д-е. При располагаемой тяге двигателей Рр конец вектора ΔV может оказаться только на границе а-б-в-г, на которой можно отметить следующие возможные варианты маневрирования:

• а - разгон по прямой,
• б - разворот с разгоном,
• в - установившийся разворот,
• г - форсированный разворот с торможением.

При нулевой тяге и выпущенных тормозных щитках конец вектора ΔV может оказаться через секунду только на границе д-е, например, в точках:

• д - энергичный разворот с торможением,
• е - торможение по прямой.

При промежуточной тяге конец вектора ΔV может оказаться в любой точке между границами а-б-в-г и д-е. Отрезок г-д соответствует разворотам при Сyдоп с различной тягой.

Непонимание того факта, что маневренность определяется секундным векторным приращением скорости, т. е. величиной ΔV, иногда приводит к неправильной оценке того или иного самолета. Например, перед войной 1941-1945 гг. некоторые летчики считали, что наш старый истребитель И-16 обладал более высокими маневренными свойствами, чем новые самолеты Як-1, МиГ-3 и ЛаГГ-3. Однако в маневренных воздушных боях Як-1 проявил себя лучше, чем И-16. В чем дело? Оказывается, И-16 мог быстро «поворачиваться», но его секундные приращения ΔV были гораздо меньше, чем у Як-1 (рис. 3); т. е. фактически Як-1 обладал более высокими маневренными свойствами, если вопрос не рассматривать узко, с точки зрения только одной «поворотливости». Аналогично можно показать, что, например, самолет МиГ-21 маневреннее самолета МиГ-17.

Области возможных приращений ΔV (рис. 2 и 3) хорошо иллюстрируют физический смысл понятия маневренности, т. е. дают качественную картину явления, но не позволяют производить количественный анализ, для которого привлекаются различного рода частные и обобщенные показатели маневренности.

Секундное векторное приращение скорости ΔV связано с перегрузками следующей зависимостью:

За счет земного ускорения g все самолеты получают одинаковое приращение скорости ΔV (9,8 м/с², вертикально вниз). Боковая перегрузка nz при маневрировании обычно не используется, поэтому маневренность самолета полностью характеризуется двумя перегрузками - nx и ny (перегрузка - векторная величина, но в дальнейшем знак вектора «->» будет опускаться).

Перегрузки nх и nу являются, таким образом, общими показателями маневренности .

С этими перегрузками связаны все частные показатели:

• rг - радиус разворота (виража) в горизонтальной плоскости;
• wг - угловая скорость разворота в горизонтальной плоскости;
• rв - радиус маневра в вертикальной плоскости;
• время разворота на заданный угол;
• wв - угловая скорость поворота траектории в вертикальной плоскости;
• jx - ускорение в горизонтальном полете;
• Vy - вертикальная скорость при установившемся подъеме;
• Vyэ - скорость набора энергетической высоты и пр.

ПЕРЕГРУЗКИ

Нормальной перегрузкой ny называется отношение алгебраической суммы подъемной силы и вертикальной составляющей силы тяги (в поточной системе координат) к весу самолета:

Примечание 1. При движении по земле в создании нормальной перегрузки участвует и сила реакции земли.

Примечание 2. Самописцы САРПП регистрируют перегрузки в связанной системе координат, в которой

На самолетах обычной схемы величина Ру сравнительно мала и ею пренебрегают. Тогда нормальной перегрузкой будет отношение подъемной силы к весу самолета:

Располагаемой нормальной перегрузкой nyр называется наибольшая перегрузка, которую можно использовать в полете с соблюдением условий безопасности.

Если в последнюю формулу подставить располагаемый коэффициент подъемной силы Cyр, то полученная перегрузка и будет располагаемой.

nyр=Cyр*S*q/G (2)

В полете величина Cyр, как уже условились, может ограничиваться по сваливанию, тряске, подхвату (и тогда Cyр=Cyдоп) или по управляемости (и тогда Cyр=Cyf). Кроме того, величина nyр может ограничиваться по условиям прочности самолета, т. е. в любом случае nyр не может быть больше максимальной эксплуатационной перегрузки nyэ макс.

К названию перегрузки nyр иногда добавляют слово «кратковременная».

Используя формулу (2) и функцию Cyр(M) можно получить зависимость располагаемой перегрузки nyр от числа М и высоты полета, которая изображена графически на рис. 4 (пример). Заметим, что содержание рисунков 4,а и 4,6 совершенно одинаковое. Верхний график обычно используется для различных расчетов. Однако для летного состава удобнее график в координатах М-Н (нижний), на котором линии постоянных располагаемых перегрузок проведены прямо внутри диапазона высот и скоростей полета самолета. Проанализируем рис. 4,6.

Линия nyр=1, очевидно, является уже известной нам границей горизонтального полета. Линия nyр=7 является границей, правее и ниже которой может произойти превышение максимальной эксплуатационной перегрузки (в нашем примере nyэ макс=7).

Линии постоянных располагаемых перегрузок проходят таким образом, что nyp2/nyp1=p2/p1 т. е. между двумя любыми линиями разница в высоте такова, что отношение давлений равно отношению перегрузок.

Исходя из этого, располагаемую перегрузку можно найти, имея на диапазоне высот и скоростей только одну границу горизонтального полета.

Пусть, например, требуется определить nyр при М=1 и H=14 км (в точке А на рис. 4,6). Решение: находим высоту точки В (20 км) и давление на этой высоте (5760 Н/м2), а также давление на заданной высоте 14 км (14 750 Н/м2); искомая перегрузка в точке А будет nyр=14 750/5760 = 2,56.

Если известно, что график на рис. 4 построен для веса самолета G1 а нам требуется располагаемая перегрузка для веса G2, то пересчет производится по очевидной пропорции:

Вывод. Имея границу горизонтального полета (линию nyp1=1), построенную для веса G1, можно определить располагаемую перегрузку на любой высоте и скорости полета для любого веса G2, используя пропорцию

nyp2/nyp1=(p2/p1)*(G1/G2) (3)

Но в любом случае используемая в полете перегрузка не должна быть больше максимальной эксплуатационной. Строго говоря, для самолета, подверженного в полете большим деформациям, формула (3) не всегда справедлива. Однако к самолетам-истребителям это замечание обычно не относится. По величине nyp при самых энергичных неустановившихся маневрах можно определить такие частные характеристики маневренности самолета, как текущие радиусы rг и rв, текущие угловые скорости wг и wв.

Предельной по тяге нормальной перегрузкой nyпр называется такая наибольшая перегрузка, при которой лобовое сопротивление Q становится равным тяге Рр и при этом nx=0. К названию этой перегрузки иногда добавляют слово «длительная».

Вычисляется предельная по тяге перегрузка следующим образом:

• для заданной высоты и числа М находим тягу Рр (по высотно-скоростным характеристикам двигателя);
• при nyпр имеем Pр=Q=Cx*S*q, откуда можно найти Сх;
• из сетки поляр по известным М и Сx находим Су;
• вычисляем подъемную силу Y=Су*S*q;
• вычисляем перегрузку ny=Y/G, которая и будет предельной по тяге, так как при расчетах мы исходили из равенства Рр=Q.

Второй метод расчета применяется, когда поляры самолета есть квадратичные параболы и когда вместо этих поляр в описании самолета даются кривые Сх0(М) и А(М):

• находим тягу Рр;
• запишем Рр = Cр*S*q, где Ср коэффициент тяги;
• по условию имеем Рр = Ср*S*q=Q=Cх*Q*S*q+(A*G²n²yпр)/(S*q), откуда:

Индуктивное сопротивление пропорционально квадрату перегрузки, т. е. Qи=Qи¹*ny² (где Qи¹ - индуктивное сопротивление при nу=1). Поэтому, исходя из равенства Рр=Qo+Qи, можно записать выражение для предельной перегрузки и в таком виде:

Зависимость предельной перегрузки от числа М и высоты полета изображена графически на рис. 5.5 (пример взят из книги ).

Можно заметить, что линий nyпр=1 на рис. 5. является уже известной нам границей установившегося горизонтального полета.

В стратосфере температура воздуха постоянна и тяга пропорциональна атмосферному давлению, т. е. Рp2/Рp1=р2/p1 (здесь коэффициент тяги Ср=const), поэтому в соответствии с формулой (5.4) при заданном числе М в стратосфере имеет место пропорция:

Следовательно, предельную по тяге перегрузку на любой высоте более 11 км можно определить по давлению р1 на линии статических потолков, где nyпр1=1. Ниже 11 км пропорция (5.6) не соблюдается, так как тяга при уменьшении высоты полета растет медленнее, чем давление (вследствие увеличения температуры воздуха), и величина коэффициента тяги Ср падает. Поэтому для высот 0-11 км расчет предельных по тяге перегрузок приходится производить обычным порядком, т. е. с использованием высотно-скоростных характеристик двигателя.

По величине nyпр можно найти такие частные характеристики маневренности самолета, как радиус rг, угловую скорость wг, время tf установившегося виража, а также г, w и t любого маневра, выполняемого при постоянной энергии (прл Pр=Q).

Продольной перегрузкой nх называется отношение разности между силой тяги (считая Рх=Р) и лобовым сопротивлением к весу самолета

Примечание При движении по земле к сопротивлению следует добавить еще и силу трения колес.

Если в последнюю формулу подставить располагаемую тягу двигателей Рр, то получим так называемую располагаемую продольную перегрузку :

Рис. 5.5. Предельные по тяге перегрузки самолета F-4C «Фантом»; форсаж, масса 17,6 m

Расчет располагаемой продольной перегрузки при произвольном значении nу производим следующим образом:

• находим тягу Рр (по высотно-скоростным характеристикам двигателя);
• при заданной нормальной перегрузке ny вычисляем лобовое сопротивление следующим путем:
  ny->Y->Сy->Сx->Q;
• по формуле (5.7) вычисляем nxр.

Если поляра - квадратичная парабола, то можно воспользоваться выражением Q=Q0+Qи¹*ny², в результате чего формула (5.7) примет вид

Вспомним, что при ny=nyпр ямеет место равенство

Подставив это выражение в предыдущее и разервув получим окончательную формулу

Если нас интересует величина располагаемой продольной перегрузки для горизонтального полета, т. е. для ny=1, то формула (5.8) приобретает вид

На рис. 5.6 в качестве примера приведена зависимость nxр¹ от М и Н для самолета F-4C «Фантом». Можно заметить, что кривые nxр¹(M, Н) в другом масштабе примерно повторяют ход кривых nyпр(М, Н), а линия nxр¹=0 точно совпадает с линией nyпр=1. Это и понятно, так как обе эти перегрузки связаны с тяговооруженностью самолета.

По величине nxр¹ можно определить такие частные характеристики маневренности самолета, как ускорение при горизонтальном разгоне jx, вертикальную скорость установившегося подъема Vy, скорость набора энергетической высоты Vyэ в неустановившемся прямолинейном подъеме (снижении) с изменением скорости.

Рис 5 6 Располагаемые продольные перегрузки в горизонтальном полете самолета F-4C «Фантом»; форсаж, масса 17,6 т

8. Все рассмотренные характерные перегрузки (пУ9, пупр, Я*Р> ^лгр1) часто изображаются в виде графика, приведенного на рис. 5.7. Он называется графиком обобщенных характеристик маневренности самолета. По рис. 5.7 для заданной высоты Hi при любом числе М можно найти пур (на линии Сур или п^макс). %Пр (на горизонтальной оси, т. е. при пхр = 0), Лхр1 (при пу=) и пХ9 (при любой перегрузке пу). Обобщенные характеристики наиболее удобны для различного рода расчетов, так как с них можно непосредственно снять любую величину, но они не наглядны ввиду многочисленности этих графиков и кривых на них (для каждой высоты нужно иметь отдельный график, подобный изображенному на рис. 5.7). Рис 5 7 Обобщенные характеристики маневренности самолета на высоте Hi (пример) Чтобы составить полное и наглядное представление о маневренности самолета, достаточно иметь три графиками р (М, Н) -как на рис. 5.4,6; пупр (М, Н) -как на рис. 5.5,6; пх р1 (М, Н) - как на рис. 5 6,6.

В заключение рассмотрим вопрос о влиянии эксплуатационных факторов на располагаемую и предельную по тяге нормальные перегрузки и на располагаемую продольную перегрузку

Влияние веса

Как это видно из формул (5.2) и (5.4), располагаемая нормальная перегрузка пур и предельная по тяге нормальная перегрузка nyпр изменяются обратно пропорционально весу самолета (при постоянных М и Н).

Если задана перегрузка ny, то при увеличении веса самолета продольная располагаемая перегрузка nxр уменьшается в соответствии с формулой (5.7), но простой обратной пропорциональности здесь не наблюдается, так как при увеличении G возрастает и лобовое сопротивление Q.

Влияние внешних подвесок

На перечисленные перегрузки внешние подвески могут влиять, во-первых, через свой вес и, во-вторых, через дополнительное увеличение безындуктивной части лобового сопротивления самолета.

На располагаемую нормальную перегрузку nyр сопротивление подвесок не влияет, так как эта перегрузка зависит только от величины располагаемой подъемной силы крыла.

Предельная по тяге перегрузка nyпр, как это видно из формулы (5.4), уменьшается, если увеличивается Схо. Чем больше тяга и больше разность Ср - Схо, тем меньше влияние сопротивления подвесок на предельную перегрузку.

Располагаемая продольная перегрузка лхр при возрастании Схо также уменьшается. Влияние Схо на nxр становится относительно больше при увеличении на маневре перегрузки nу.

Влияние атмосферных условий.

Для определенности рассуждений будем рассматривать увеличение температуры на 1 % при стандартном давлении р; плотность воздуха р при этом будет на 1 % меньше стандартной. Откуда:

• при заданной воздушной скорости V располагаемая (по Сyр) нормальная перегрузка пур упадет примерно на 1%. Но при заданных индикаторной скорости Vи или числе М перегрузка nур при увеличении температуры не изменится;
• предельная по тяге нормальная перегрузка nyпр при заданном числе М упадет, так как увеличение температуры на 1 % приводит к падению тяги Рр и коэффициента тяги Ср примерно на 2%;
• располагаемая продольная перегрузка nхр при увеличении температуры воздуха также уменьшится в соответствии с падением тяги.

Включение форсажа (или его выключение)

Очень сильно влияет на предельную по тяге нормальную перегрузку nyпр, и располагаемую продольную перегрузку nхр. Даже на скоростях и высотах, где Рр >> Qг, увеличение тяги, например, в 2 раза приводит к увеличению nупр примерно в sqrt(2) раз и к увеличению nхр¹ (при nу = 1) примерно в 2 раза.

На скоростях и высотах, где разность Рр - Qг мала (например, вблизи статического потолка), изменение тяги приводит к еще более ощутимому изменению и nупр и nхр¹.

Что касается располагаемой (по Сyр) нормальной перегрузки nyр, то величина тяги на нее почти не влияет (считая Рy=0). Но следует учитывать, что при большей тяге самолет на маневре теряет энергию медленее и, следовательно, более длительное время может находиться на повышенных скоростях, на которых располагаемая перегрузка nyр имеет наибольшую величину.

Основные понятия

Устойчивость и управляемость относятся к числу особенно важных физических свойств самолета. От них в значительной мере зависят безопасность полетов, простота и точность пилотирования и полная реализация летчиком технических возможностей самолета.

При изучении устойчивости и управляемости самолета его представляют как тело, движущееся поступательно под действием внешних сил и вращающееся под действием моментов этих сил.

Для установившегося полёта необходимо, чтобы силы и моменты были взаимно уравновешены.

Если по каким-то причинам это равновесие нарушается, то центр масс самолёта станет совершать неравномерное движение по криволинейной траектории, а сам самолёт начнёт вращаться.

Осями вращения самолёта принято считать оси связанной системы координат с началом координат
в центре масс самолета. Ось ОХ располагается в плоскости симметрии самолета и направлена по его продольной оси. Ось ОУ перпендикулярна оси ОХ, а ось ОZ перпендикулярна плоскости ХОУ и направлена
в сторону правого полукрыла.

Моменты, вращающие самолет вокруг этих осей, имеют следующие названия:

М х – момент крена или поперечный момент;

М Y – момент рысканья или путевой момент;

М z – момент тангажа или продольный момент.

Момент М z , увеличивающий угол атаки, называется кабрирующим, а момент М z , вызывающий уменьшение угла атаки, - пикирующим.

Рис. 6.1. Моменты, действующие на самолет

Для определения положительного направления моментов используется следующее правило:

если из начала координат направить взгляд вдоль положительного направления соответствующей оси, то вращение по часовой стрелке будет положительным.

Таким образом,

· момент М z положителен в случае кабрирования,

· момент М х положителен в случае крена на правое полукрыло,

· момент М Y положителен при развороте самолета влево.

Положительному отклонению руля соответствует отрицательный момент и наоборот. Следовательно, за положительное отклонение рулей следует считать:

· руль высоты – вниз,

· руль поворота – вправо,

· правый элерон – вниз.

Положение самолета в пространстве определяется тремя углами – тангажа, крена и рысканья.

Углом крена называется угол между линией горизонта и осью ОZ,

углом скольжения – угол между вектором скорости и плоскостью симметрии самолета,

углом тангажа – угол между хордой крыла или осью фюзеляжа и линией горизонта.

Угол крена положителен, если самолет находится в правом крене.

Угол скольжения положителен при скольжении на правое полукрыло.

Угол тангажа считается положительным, если нос самолета поднят над горизонтом.

Равновесием называется такое состояние самолёта, при котором все силы и моменты, действующие на него, взаимно уравновешены и самолёт совершает равномерное прямолинейное движение.

Из механики известны 3 вида равновесия:

a) устойчивое б) безразличное в) неустойчивое;

Рис. 6.2. Виды равновесия тела

В таких же видах равновесия может находиться
и самолёт.

Продольное равновесие - это состояние, при котором самолёт не имеет стремления к изменению угла атаки.

Путевое равновесие - самолёт не имеет стремления к изменению направления полёта.

Поперечное равновесие - самолёт не имеет стремления к изменению угла крена.

Равновесие самолёта может быть нарушено из-за:

1) нарушения режимов работы двигателя или их отказа в полёте;

2) обледенения самолёта;

3) полёта в неспокойном воздухе;

4) несинхронного отклонения механизации;

5) разрушения частей самолёта;

6) срывного обтекания крыла, оперения.

Обеспечение определённого положения летящего самолёта по отношению к траектории движения или по отношению к земным предметам называется балансировкой самолёта.

В полёте балансировка самолёта достигается отклонением органов управления.

Устойчивостью самолёта называется его способность самостоятельно без вмешательства лётчика восстанавливать случайно нарушенное равновесие.

По словам Н.Е.Жуковского устойчивость - это прочность движения.

Для практики летной эксплуатации балансировка
и устойчивость самолёта не равноценны. На самолёте, на котором не обеспечена балансировка, летать нельзя, тогда как на неустойчивом самолёте полёт возможен.

Оценка устойчивости движения самолета производится с помощью показателей статической и динамической устойчивости.

Под статической устойчивостью понимается его тенденция к восстановлению исходного равновесного состояния после случайного нарушения равновесия. Если при нарушении равновесия возникают силы
и моменты, стремящиеся восстановить равновесие, то самолет статически устойчив.

При определении динамической устойчивости оценивается уже не начальная тенденция к устранению возмущения, а характер протекания возмущенного движения самолета. Для обеспечения динамической устойчивости возмущенное движение самолета должно быть быстро затухающим.

Таким образом, самолет устойчив при наличии:

· статической устойчивости;

· хороших демпфирующих свойств самолета, способствующих интенсивному затуханию его колебаний в возмущенном движении.

К количественным показателям статической устойчивости самолета относятся степень продольной, путевой и поперечной статической устойчивости.

К характеристикам динамической устойчивости относятся показатели качества процесса уменьшения (затухания) возмущений: время затухания отклонений, максимальные значения отклонений, характер движения в процессе уменьшения отклонений.

Под управляемостью самолёта понимается его способность исполнять по воле лётчика любой маневр, предусмотренный техническими условиями для данного типа самолёта.

От управляемости самолета в значительной мере зависит и его маневренность.

Маневренностью самолета называют его способность изменять за определенный промежуток времени скорость, высоту и направление полета.

Управляемость самолета тесно связана с его устойчивостью. Управляемость при хорошей устойчивости обеспечивает летчику простоту управления, а в случае необходимости позволяет быстро исправить случайную ошибку, допущенную в процессе управления,
а также легко возвратить самолет к заданным условиям балансировки при воздействии на него внешних возмущений.

Устойчивость и управляемость самолета должны находиться в определенном соотношении.

Если самолет обладает большой устойчивостью,
то усилия при управлении самолетом чрезмерно велики и пилот при маневрировании будет быстро
утомляться. О таком самолете говорят, что он тяжел в управлении.

Излишне легкое управление также недопустимо, так как затрудняет точное дозирование отклонений рычагов управления и может вызвать раскачку самолета.

Балансировка, устойчивость и управляемость самолёта разделяется на продольную и боковую.

Боковая устойчивость и управляемость подразделяются на поперечную и путевую (флюгерную).

Продольная устойчивость

Продольной устойчивостью называется способность самолёта без вмешательства пилота восстанавливать нарушенное продольное равновесие (устойчивость относительно ОZ)

Продольная устойчивость обеспечивается:

1) соответствующими размерами горизонтального оперения г.о., площадь которого зависит от площади крыла;

2) плечом горизонтального оперения L г.о, т.е. расстоянием от центра масс самолёта до центра давления г.о.

3) Центровкой , т.е. расстоянием от носка средней аэродинамической хорды (САХ) до центра масс самолёта, выраженным в процентах от величины САХ:

Рис. 6.3. Определение средней аэродинамической хорды

САХ (b a ) - хорда некоторого условного прямоугольного крыла, которое при такой же, как у реального крыла, площади имеет такие же коэффициенты аэродинамических сил и моментов.

Величину и положение САХ чаще всего находят графически.

Положение центра масс самолёта, а значит, его центровки зависит от:

1) загрузки самолёта и изменения этой нагрузки в полёте;

2) размещения пассажиров и выработки топлива.

При уменьшении центровки увеличивается устойчивость, но уменьшается управляемость.

При увеличении центровки уменьшается устойчивость, но увеличивается управляемость.

Поэтому передний предел центровок устанавливается из условия получения безопасной посадочной скорости и достаточной управляемости, а задний предел - из условия обеспечения достаточной устойчивости.

Обеспечение продольной устойчивости по углу атаки

Нарушение продольного равновесия выражается
в изменении угла атаки и скорости полета, причем угол атаки изменяется значительно быстрее, чем скорость. Поэтому в первый момент после нарушения равновесия проявляется устойчивость самолета по углу атаки (по перегрузке).

При нарушении продольного равновесия самолета угол атаки изменяется на величину и вызывает изменение подъемной силы на величину , которая складывается из приращений подъемной силы крыла и горизонтального оперения:

Крыло и самолёт в целом обладают важным свойством, заключающимся в том, что при изменении угла атаки происходит такое перераспределение аэродинамической нагрузки, что равнодействующая его прироста проходит через одну и ту же точку F, удалённую от носка САХ на расстояние Х f .

Рис.6.4. Обеспечение продольной устойчивости самолета

Точка приложения приращения подъемной силы , вызванного изменением угла атаки при неизменной скорости, называется фокусом .

Степень продольной статической устойчивости
самолета определяется взаимным расположением центра масс и фокуса самолета.

Положение фокуса при безотрывном обтекании не зависит от угла атаки.

Положение центра масс, т.е. центровка самолета, определяется в процессе проектирования компоновкой самолета, а при эксплуатации – заправкой или выработкой топлива, загрузкой и т.п. Меняя центровку самолета, можно изменять степень его продольной статической устойчивости. Существует определенный диапазон центровок, в пределах которого можно размещать центр масс самолета.

Если грузы на самолете разместить так, чтобы центр масс самолета совпадал с его фокусом, самолет будет безразличен к нарушению равновесия. Центровка в этом случае называется нейтральной .

Смещение центра масс относительно нейтральной центровки вперед обеспечивает самолету продольную статическую устойчивость, а смещение ц.м. назад делает его статически неустойчивым.

Таким образом, для обеспечения продольной устойчивости самолета его центр масс должен находиться впереди фокуса.

В этом случае при случайном изменении угла атаки появляется стабилизирующий момент a, возвращающий самолет на заданный угол атаки (рис.6.4).

Для смещения фокуса за центр масс и применяют горизонтальное оперение.

Расстояние между центром масс и фокусом, выраженное в долях САХ, называется запасом устойчивости по перегрузке или запасом центровки :

Существует минимально-допустимый запас устойчивости, который должен быть равен не менее 3% САХ.

Положение ц.м., при котором обеспечивается минимально-допустимый запас центровки, называется предельно задней центровкой . При такой центровке самолет еще обладает устойчивостью, обеспечивающей безопасность полета. Разумеется, что задняя
эксплуатационная центровка должна быть меньше предельно допустимой.

Допустимое смещение ц.м. самолета вперед определяется по условиям балансировки самолета.
Наихудшим в смысле балансировки является режим захода на посадку при малых скоростях, предельно допустимых углах атаки и выпущенной механизации.
Поэтому предельно передняя центровка определяется из условия обеспечения балансировки самолета на посадочном режиме.

Для неманевренных самолетов величина запаса центровки должна составлять 10–12% САХ.

При переходе с дозвуковых режимов на сверхзвуковые фокус самолета смещается назад, запас центровки увеличивается в несколько раз и продольная статическая устойчивость резко возрастает.

Балансировочные кривые

Величина продольного момента М z , возникающего при нарушении продольного равновесия, зависит от изменения угла атаки Δα. Эта зависимость называется балансировочной кривой .

Мz

Рис. 6.5. Балансировочные кривые:

а) устойчивый самолет, б) безразличный самолет,
в) неустойчивый самолет

Угол атаки, при котором M z = 0, называется балансировочным углом атаки α .

На балансировочном угле атаки самолёт находится в состоянии продольного равновесия.

На углах устойчивый самолет создает стабилизирующий момент - (момент пикирования), неустойчивый – дестабилизирующий + , безразличный самолет не создает , т.е. имеет множество балансировочных углов атаки.

Путевая устойчивость самолета

Путевая (флюгерная) устойчивость – это способность самолета без вмешательства пилота устранять скольжение, т. е. устанавливаться «против потока», сохраняя заданное направление движения.

Рис. 6.6. Путевая устойчивость самолета

Обеспечивается путевая устойчивость соответствующими размерами вертикального оперения S в.о.
и плечом вертикального оперения L в.о, т.е. расстоянием от центра давления в.о. до центра масс самолета.

Под действием М возм самолет вращается вокруг оси OY, но его ц.м. по инерции сохраняет еще направление движения и самолет обтекается потоком под
углом скольжения β. В результате несимметричного обтекания возникает боковая сила Z, приложенная
в боковом фокусе. Самолет под действием силы Z стремится развернуться подобно флюгеру в сторону крыла, на которое он скользит.

В.о. смещает боковой фокус за ц.м. самолета. Этим обеспечивается создание стабилизирующего путевого момента ΔM Y =Zb.

Степень путевой статической устойчивости определяется величиной производной коэффициента момента рысканья по углу скольжения m .

Физически m определяет величину прироста коэффициента момента рысканья, если угол скольжения изменяется на 1 .

У самолета, обладающего путевой устойчивостью он отрицателен. Таким образом, при скольжении на правое крыло (положительное ), появляется путевой момент, вращающий самолет вправо, т.е. коэффициент m отрицательный.

Изменение угла атаки, выпуск механизации незначительно влияют на путевую устойчивость. В диапазоне чисел М от 0,2 до 0,9 степень путевой устойчивости практически не меняется.

Математическая модель объекта управления является основой описания и исследования процессов в контурах управления и основой синтеза этих контуров. Математическая модель строится для описания определенной группы свойств реального неограниченно сложного объекта управления.

Уравнения пространственного движения самолета как твердого тела

В аэродинамике самолета приняты следующие прямоугольные правые системы координат (рис.1.1). Земная система координат, ось которой направлена вертикальна, оси, имеют неизменную в горизонтальной плоскости ориентацию. Для обычных задач управления полетом самолетов влиянием вращения Земли на динамику движения можно пренебречь и считать систему инерциальной.

Промежуточная (земная центральная) система координат с

осями, параллельными осям земной системы и центром О, совмещенным с центром массы самолета.

Связанная система координат. Оси этой системы координат

обычно совпадают с главными центральными осями инерции самолета. Ось совпадает с продольной главной осью инерции, ось лежит в плоскости симметрии, ось близка к плоскости крыла или совпадает с ней.

Скоростная система координат. Ось этой системы ориентирована по вектору воздушной скорости самолета, ось лежит в плоскости симметрии самолета (ось подъемной силы).

Угол, образуемый продольной осью самолета с горизонтальной

плоскостью, носит название угла тангажа . Угол между проекцией продольной оси на горизонтальную плоскость и заданным направлением называется углом рысканья , курсом или путевым углом . Угол, соответствующий повороту самолета вокруг продольной оси относительно положения, при котором поперечная ось горизонтальна, именуется углом крена .

Положение вектора воздушной скорости относительно связанных осей самолета характеризуется углом атаки б и углом скольжения в . Угол атаки - это угол между проекцией вектора воздушной скорости на плоскости симметрии самолета и продольной осью, угол скольжения - угол, образуемый вектором воздушной скорости с плоскостью симметрии.

Рис.1.1 системы координат

Движение самолета как твердого тела в связанной системе координат

описываются уравнениями Эйлера:

где - компоненты вектора путевой скорости в связанной системе координат; - компоненты вектора угловой скорости в связанной системе координат; X 1 , Y 1 , Z 1, M x1, M y1 , M z1 - силы и моменты в связанной системе координат; I x , I y , I z - моменты инерции относительно главных осей; m - масса, g - ускорение силы тяжести. Математическая модель, представленная уравнениями (1.1) - (1.6), соответствует любому твердому телу с шестью степенями свободы и применительно к самолету требует дальнейшего дополнения.

Эта конкретизация модели заключается прежде всего, в раскрытии зависимостей сил и моментов от аэродинамических и иных параметров движения (координат), отклонений органов управления и возмущающих воздействий, что составляет предмет аэродинамики самолетов. В рамках стационарной аэродинамики силы и моменты, действующие на ЛА, выражаются функциями параметров полета и отклонений органов управления. Момент силы М у1 выражается функцией угловой скорости рысканья, угла скольжения в. Угловой скорости крена, отклонения руля направления, отклонения элеронов, скоростного напора (- плотность воздуха, V - воздушная скорость при отсутствии ветра совпадающая с путевой скорости), числа Маха М. При более детальном рассмотрении (большие углы атаки, в?0 ) момент M y1 оказывается зависящим также от угла атаки б:

M y1= M y1. (1.7)

Силы и моменты являются не функциями, а операторами параметров полета. Однако инерционность соответствующих операторов сопоставимы с временем движения частиц воздуха относительно поверхности, создающий силу или момент, и малы. Поэтому нестационарность аэродинамики в большинстве случаев приближено можно учесть путем введения первых временных производных. Так. Момент относительно поперечной оси с учетом запаздывания скоса потока на стабилизаторе принимается функцией не только угла атаки, но производной угла атаки

M z1= M z1 (1.8)

Отклонение руля высоты или стабилизатора.

Детальный учет нестационарной аэродинамики необходим при рассмотрении некоторых явлений аэроупругости.

В дальнейшем рассмотрение будет осуществляться в рамках стационарной аэродинамики.

Система уравнений (1.1) - (1.6) даже при отсутствии отклонений. Органов управления не является замкнутой системой.

Направляющие косинусы связанной системы координат относительно земной выражаются через углы согласно формулам, приведенным в таблице 1.1.

Таблица 1.1

Компоненты скорости в земной системе координат через направляющие косинусы таблицы 1.1 связаны с величинами V x ,V y ,V z :

C другой стороны, согласно данным таблицы 1.2 компоненты путевой скорости в связанных осях при отсутствии ветра связаны с углом атаки и углом скольжения формулами

Производные углов тангажа, крена и рысканья описываются выражениями

Система уравнений (1.1) - (1.6), (1.09), (1.10), (1.11) при раскрытых зависимостях сил и моментов от параметров полета становится полностью замкнутой системой уравнений ЛА как объекта управления, если известна зависимость плотности воздуха и скорости звука а (или температуры) от высоты Н= , т. е известна модель атмосферы. Замкнутость системы уравнений объекта означает, что его движение при заданных отклонения органов управления полностью определяется этой системой уравнений.

Математическая модель пространственного движения ЛАкак твердого тела представленная вышеперечисленными уравнениями и моделью атмосферы, несимметрична и довольна громоздка. Однако эта модель является традиционной, по крайней мере как ступень перехода к более простым моделям. Широкое распространение данной модели обусловлена тем, что она основана на стандартных угловых координатах: углах крена, рысканья, тангажа, скольжения и атаки.

Если воспользоваться в качестве координат углового положения непосредственно направляющими косинусами и выразить аэродинамические силы и моменты и тягу двигателя в виде функций проекций воздушной скорости на связанные оси и других параметров, то система уравнений пространственного движения ЛА принимает более симметричный вид:

Здесь - величина, характеризующая управление тягой двигателей.

При пренебрежении инерционностью управления тягой (неограниченная приемистость двигателя) величина будет совпадать с отклонением ручки управления двигателем (двигателями).

В случае анализа динамики самолета, совершающего полет со скоростью, значительно меньшей орбитальной, уравнения движения по сравнению с общшм случаем полета летательного аппарата могут быть упрощены, в частности, можно пре­небречь вращением и сферичностью Земли. Кроме этого сделаем еще ряд упрощающих допущений.

только квазистатически, для текущего значения скоростного напора.

При анализе устойчивости и управляемости самолета будем использовать следующие прямоугольные правые системы осей координат.

Нормальная земная система координат OXgYgZg. Эта система осей координат имеет неизменную ориентацию относительно Земли. Начало координат совпадает с центром масс (ЦМ) самолета. Оси 0Xg и 0Zg лежат в горизонтальной плоскости. Их ориентация может быть принята произвольно, в зависимости от целей реша­емой задачи. При решении навигационных задач ось 0Xg часто направляют к Северу параллельно касательной к меридиану, а ось 0Zg направляют на Восток. Для анализа устойчивости и управляемости самолета удобно принять направление ориента­ции оси 0Xg совпадающим по направлению с проекцией вектора скорости на горизонтальную плоскость в начальный момент вре­мени исследования движения. Во всех случаях ось 0Yg направлена вверх по местной вертикали, а ось 0Zg лежит в горизонтальной плоскости и образует вместе с осями OXg и 0Yg правую систему осей координат (рис. 1.1). Плоскость XgOYg называют местной вертикальной плоскостью.

Связанная система координат OXYZ. Начало координат рас­положено в центре масс самолета. Ось ОХ лежит в плоскости симметрии и направлена вдоль линии хорд крыла (либо парал­лельно какому-либо другому, фиксированному относительно само­лета направлению) к носовой части самолета. Ось 0Y лежит в плоскости симметрии самолета и направлена вверх (при гори­зонтальном полете), ось 0Z дополняет систему до правой.

Углом атаки а называется угол между продольной осью самолета и проекцией воздушной скорости на плоскость OXY. Угол положителен, если проекция воздушной скорости самолета на ось 0Y отрицательна.

Углом скольжения р называется угол между воздушной ско­ростью самолета и плоскостью OXY связанной системы коорди­нат. Угол положителен, если проекция воздушной скорости на поперечную ось положительна.

Положение связанной системы осей координат OXYZ относи­тельно нормальной земной системы координат OXeYgZg может быть полностью определено тремя углами: ф, #, у, называемыми углами. Эйлера. Последовательно поворачивая связанную систему

координат на каждый из углов Эйлера, можно прийти к любому угловому положению связанной системы относительно осей нор­мальной системы координат.

При исследовании динамики самолетов используются следу­ющие понятия углов Эйлера.

Угол рыскания г]) - угол между некоторым исходным напра­влением (например, осью 0Xg нормальной системы координат) и проекцией связанной оси самолета на горизонтальную пло­скость. Угол положителен, если ось ОХ совмещается с проекцией продольной оси на горизонтальную плоскость поворотом вокруг оси OYg по часовой стрелке.

Угол тангажа # - угол между продольно# осью самолета ОХ и местной горизонтальной плоскостью OXgZg, Угол положителен, если продольная ось находится выше горизонта.

Угол крена у - угол между местной вертикальной плоскостью, проходящей через ось ОХ у и связанной осью 0Y самолета. Угол положителен, если ось О К самолета совмещается с местной вер­тикальной плоскостью поворотом вокруг оси ОХ по часовой стрелке. Углы Эйлера могут быть получены последовательными поворотами связанных осей относительно нормальных осей. Бу­дем считать, что нормальная и связанная системы координат в начале совмещены. Первый поворот системы связанных осей произведем относительно оси О на угол рыскания г]; (ф совпадает с осью OYgXрис. 1.2)); второй поворот -относительно оси 0ZX на угол Ф (‘& совпадает с осью OZJ и, наконец, третий поворот произведем относительно оси ОХ на угол у (у совпадает с осью ОХ). Проектируя векторы ф, Ф, у, являющиеся составляющими

вектора угловой скорости движения самолета относительно нор­мальной системы координат, на связанные оси, получим уравне­ния связи между углами Эйлера и угловыми скоростями вращения связанных осей:

со* = Y + sin *&;

o)^ = i)COS’&cosY+ ftsiny; (1.1)

со2 = ф cos у - ф cos Ф sin у.

При выводе уравнений движения центра масс самолета необ­ходимо рассматривать векторное уравнение изменения количества движения

-^- + о>xV)=# + G, (1.2)

где ю - вектор скорости вращения связанных с самолетом осей;

R - главный вектор внешних сил, в общем случае аэродинами-

ческих сил и тяги; G - вектор гравитационных сил.

Из уравнения (1.2) получим систему уравнений движения ЦМ самолета в проекциях на связанные оси:

т (гЗ?~ + °hVx ~ °ixVz) = Ry + G!!’ (1 -3)

т iy’dt “Ь У - = Rz + Gz>

где Vx, Vy, Vz - проекции скорости V; Rx, Rz - проекции

результирующих сил (аэродинамических сил и тяги); Gxi Gyy Gz - проекции силы тяжести на связанные оси.

Проекции силы тяжести на связанные оси определяются с ис­пользованием направляющих косинусов (табл. 1.1) и имеют вид:

Gy = - G cos ft cos у; (1.4)

GZ = G cos d sin y.

При полете в атмосфере, неподвижной относительно Земли, проекции скорости полета связаны с углами атаки и скольжения и величиной скорости (V) соотношениями

Vх = V cos a cos р;

Vу = - V sin a cos р;

Связанная

Выражения для проекций результирующих сил Rx, Rin Rz имеют следующий вид:

Rx = - cxqS — f Р cos ([>;

Rty = cyqS p sin (1.6)

где cx, cy, сг - коэффициенты проекций аэродинамических сил на оси связанной системы координат; Р - гяга двигателей (обычно Р = / (У, #)); Фн - угол заклинення двигателя (фя > 0, когда проекция вектора тяги на ось 0Y самолета-положительна). Далее везде будем принимать = 0. Для определения входящей в выражение для скоростного напора q величины плотности р (Н) необходимо интегрировать уравнение для высоты

Vx sin ft+ Vy cos ft cos у - Vz cos ft sin у. (1.7)

Зависимость p (H) может находиться по таблицам стандартной атмосферы либо по приближенной формуле

где для высот полета И с 10 000 м К ж 10~4 . Для получения замкнутой системы уравнений движения самолета в связанных осях уравнения (13) необходимо дополнить кинематическими

соотношениями, которые позволяют определять углы ориентации самолета у, ft, г]1 и могут быть получены из уравнений (1.1):

■ф = Кcos У — sin V):

■fr = «у sin у + cos Vi (1-8)

Y = со* - tg ft (©у cos y - sinY),

а угловые скорости cov, со, coz определяются из уравнений движе­ния самолета относительно ЦМ. Уравнения движения самолета относительно центра масс могут быть получены из закона измене­ния момента количества движения

-^-=MR-ZxK.(1.9)

В этом векторном уравнении приняты следующие обозначения: ->■ ->

К - момент количества движения самолета; MR - главный мо­мент внешних сил, действующих на самолет.

Проекции вектора момента количества движения К на подвиж­ные оси в общем случае записываются в следующем виде:

К t = I х^Х? ху®у I XZ^ZI

К, Iху^х Н[ IУ^У Iyz^zi (1.10)

К7. - IXZ^X Iyz^y Iz®Z*

Уравнения (1.10) могут быть упрощены для наиболее распростра­ненного случая анализа динамики самолета, имеющего плоскость симметрии. В этом случае 1хг = Iyz - 0. Из уравнения (1.9), используя соотношения (1.10), получим систему уравнений дви­жения самолета относительно ЦМ:

h -jf — — hy («4 — ©Ї) + Uy — !*) = MRZ-

Если за сси OXYZ принять главные оси инерции, то 1ху = 0. В связи с этим дальнейший анализ динамики самолета будем производить, используя в качестве осей OXYZ главные оси инер­ции самолета.

Входящие в правые части уравнений (1.11) моменты являются суммой аэродинамических моментов и моментов от тяги двигателя. Аэродинамические моменты записываются в виде

где тХ1 ту, mz - безразмерные коэффициенты аэродинамических моментов.

Коэффициенты аэродинамических сил и моментов в общем случае выражаются в виде функциональных зависимостей от ки­нематических параметров движения и параметров подобия, за­висящих от режима полета:

у, г mXt = F(а, р, а, Р, coXJ coyj со2, бэ, ф, бн, М, Re). (1.12)

Числа М и Re характеризуют исходный режим полета, поэтому при анализе устойчивости или управляемых движений эти парамет­ры могут быть приняты постоянными величинами. В общем случае движения в правой части каждого из уравнений сил и моментов будет содержаться достаточно сложная функция, определяемая, как правило, на основе аппроксимации экспериментальных данных.

Нарис. 1.3 приведены правила знаков для основных пара­метров движения самолета, а также для величин отклонений органов и рычагов управления.

Для малых углов атаки и скольжения обычно используется представление аэродинамических коэффициентов в виде разложе­ний в ряд Тейлора по параметрам движения с сохранением только первых членов этого разложения. Такая математическая модель аэродинамических сил и моментов для малых углов атаки доста­точно хорошо согласуется с летной практикой и экспериментами в аэродинамических трубах. На основании материалов работ по аэродинамике самолетов различного назначения примем следу­ющую форму представления коэффициентов аэродинамических сил и моментов в функции параметров движения и углов отклонения органов управления:

сх ^ схо 4~ сх (°0»

У ^ СУ0 4" с^уа 4" С!/Ф;

сг = cfp + СгН6„;

тх - itixi|5 — f — ■Ь тхха>х-(- тх -f — /л* (І -|- — J — Л2ЛП6,!

о (0.- (0^- р б б„

ту = myfi + ту хо)х + ту Уыу + р + га/бэ + ту бн;

тг = тг (а) + тг zwz /я? ф.

При решении конкретных задач динамики полета общая форма представления аэродинамических сил и моментов может быть упрощена. Для малых углов атаки многие аэродинамические коэффициенты бокового движения являются константами, а про­дольный момент может быть представлен в виде

mz (а) = mzo + т£а,

где mz0 - коэффициент продольного момента при а = 0.

Входящие в выражение (1.13) составляющие, пропорциональ­ные углам аир, обычно находятся из статических испытаний моделей в аэродинамических трубах или расчетом. Для нахожде-

НИЯ производных, twx (у) необходимо проведение

динамических испытаний моделей. Однако в таких испытаниях обычно происходит одновременное изменение угловых скоростей и углов атаки и скольжения, в связи с чем при измерениях и обра­ботке одновременно определяются величины:

СО — СО- ,

тг* = т2г —mz;

0) , R. Юу I в.

mx* = тх + тх sin а; ту* = Шух ту sin а.

СО.. (О.. ft СО-. СО.. ft

ту% = т,/ -|- tiiy cos а; тх% = тху + тх cos а.

В работе показано, что для анализа динамики самолета,

особенно на малых углах атаки, допустимо представление момен-

тов в виде соотношений (1.13), в которых производные mS и т$

приняты равными нулю, а под выражениями т®х, и т. д.

понимаются величины m“j, т™у [см. (1.14)], определяемые в экс­перименте. Покажем, что это допустимо, ограничив рассмотрение задачами анализа полета с малыми углами атаки и скольжения при постоянной скорости полета. Подставив в уравнения (1.3) выра­жения для скоростей Vх, Vy, Vz (1.5) и производя необходимые преобразования, получим

= % COS а + coA. sina — f -^r }